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实数理论 ​

有理数

从Peano公理出发，我们可以轻松地、严格定义自然数集N(Set of Natural Number)、整数集Z(Set of Integers)、有理数集Q (Set of Rational Numbers , Quotient)

但本质上只使用了一个方法——用一个有序数对

容易发现：仅仅靠有理数，是无法描述数轴上所有的点的；

仅仅一个代数方程x2−2=0的解，崩坏了毕达哥拉斯辛苦建立的数学大厦，造成了第一次数学危机

实数

  1. 构造实数的主要方法：
  • Dedekind分割
  • 无限十进制小数
  • 闭区间套
  • Cauchy列
  • 无穷级数
  • etc.
  1. 刻画实数完备性的方式：
  • Dedekind定理
  • 确界原理
  • Heine-Borel定理
  • 单调有界定理
  • 闭区间套定理
  • Bolzano-Weierstrass定理
  • Cauchy原理

Dedekind ​

将有理数集分割按序关系排列在一条直线上，分割为任意两集合α,β

对于α,β 来说 ，总是有

  • ∀p∈α,∃q∈αq>p 表明α无最大元素
  • ∀p∈β,∃q∈βq<p 表明β无最小元素

可见：有理数域虽然稠密，但并不完备；因此，迫切需要构建一个相对完备的数集

Dedekind分割 ​

对于数集K 的一个划分 α,β，若满足

  • 1∘((∀x,y∈α)∧x<y)y∈α→x∈α
  • 2∘(∀x∈α)(∃y∈α∧y>x)

称其为K上的一个Dedekind分割（记作α|β）

通过y去 无限逼近 α|β的临界点

由于给定α⟺α|β ，因此我们可以用 α代表其划分，并用集合α （即一个分割的下集）表示一个实数实数