逻辑推理系统

逻辑推理是研究数学的重要基础

逻辑推理是根据一些已知内容推理出一些结论、判断某些结论或假设的真假。

通过自然语言的方式，描述已知信息、推理等是较为复杂的

因此，逻辑推理系统首要处理的就是自然语言的简化描述

例如：

$如果今天下雨，就不上课了等价于 p \to \neg q$

$p : 今天下雨, q : 今天上课 \to : 推理, \neg : 非$

逻辑推理系统，通俗的说，就是对命题的处理方式的描述，并构建出方便推理的方法，以得出结论

自然语言将命题表述为具有确定真假含义的陈述句

自然的，非陈述句型并非命题，非真假二值的句子同样不属于命题

对于简单的命题，使用小写字母 $p, q, r, s, t \dots$ 表示，如 $p : 今天是晴天$ ， $q : 昨天下雨了$
对于两个命题的联结方式，有诸如 $非 : \neg, 与 : \land, 或 : \lor, 蕴含 : \to, \leftarrow, 等价 :\leftrightarrow$
关系 $⟹, ⟸, ⟺$

符号化是方便了运算得出结论，但当大量联结词堆叠，仅仅依靠从左到右的次序，就会出现歧义，因此有联结词的优先级，如我们从小学就开始接触的括号，就是为了提升运算优先次序，优先级表如下， $>$ 仅表示优先于：

() > \neg > \land > \lor > \to >\leftrightarrow

对于不同的命题表述，可能会有相同的结果，同样的也会有相同的真假
推理出命题表述的真假，需要使用等价的关系，将命题简化到可辨真假的程度

对于A,B,C

\begin{aligned} A & ⟺ \neg \neg A \\ A & ⟺ A \land A \\ A & ⟺ A \lor A \\ A \land B & ⟺ B \land A \\ A \lor B & ⟺ B \lor A \\ A \leftrightarrow B & ⟺ B \leftrightarrow A \\ (A \land B) \land C & ⟺ A \land (B \land C) \\ (A \lor B) \lor C & ⟺ A \lor (B \lor C) \\ (A \leftrightarrow B) \leftrightarrow C & ⟺ A \leftrightarrow (B \leftrightarrow C) \\ A \lor (B \land C) & ⟺ (A \lor B) \land (A \lor C) \\ A \land (B \lor C) & ⟺ (A \land B) \lor (A \land C) \\ A \to (B \to C) & ⟺ (A \to B) \to (A \to C) \\ \neg (A \land B) & ⟺ \neg A \lor \neg B \\ \neg (A \lor B) & ⟺ \neg A \land \neg B \\ A \land 1 & ⟺ A \\ A \lor 1 & ⟺ 1 \\ A \land 0 & ⟺ 0 \\ A \lor 0 & ⟺ A \\ A \lor \neg A & ⟺ 1 \\ A \land \neg A & ⟺ 0 \\ A \to B & ⟺ \neg A \lor B \\ A \leftrightarrow B & ⟺ (A \to B) \land (B \to A) \\ A \to B & ⟺ \neg B \to \neg A \\ A \leftrightarrow B & ⟺ \neg A \leftrightarrow \neg B \\ (A \to B) \land (A \to \neg B) & ⟺ \neg A \\ (A \land B) \to C & ⟺ A \to (B \to C) \end{aligned}

根据以上等价关系，通过等值演算推导出的结果

逻辑推理系统 ​