递推公式是动态规划的灵魂，dp的含义、初始化以及遍历的顺序也很关键，但最重要是分析问题的思想，在此，将动态规划划分为五个阶段，来自于代码随想录

五个阶段

• 明确dp数组的含义
• 对dp进行正确初始化
• 找出递推公式
• 明确遍历的次序和层级
• debug

动态规划的优劣

• 其效率显然是高于单纯的递归算法和暴力枚举的
• 每次动态规划都需要自定一个dp数组，甚至是二维、三维数组，未免太浪费空间

动态规划的案例

N个矩阵连乘问题

• 描述：给定n个矩阵$\{A_1,A_2,...,An\}$ ，其中 $A_i$ 与$A_{i+1}$是可乘的。 如何确定矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积所需要的数乘次数最少

• 分析：根据矩阵连乘的结合律，我们可以将其整个相乘划分为两块甚至更多块相乘，从而得到子问题

  • 我们维护一个数组$dp[i:j]$ 表示其计算量从而可得到 (1) ：
  • 根据dp数组找到最优次数
  • 题解代码n_matrix.cpp
  $$dp(i,j)=\{\begin{array}{lll}& 0& \text{i=j}\\ & \underset{i\le k<j}{min}\{dp(i,k)+dp(k+1,j)+p_{i-1}\cdot p_k\cdot p_j\}& \text{i<j}\end{array}$$

最长公共子序列

• 描述：给定两字符串str1，str2，找出其最长公共子序列，找出其最长公共子串

  • 子串：字符串中连续的子集
  • 子序列：将给定的字符串去掉n $(n\ge 0)$个之后的字符串

• 分析：最长公共子串纯粹凑个热闹，O(n) 即可

  • 边界str1.length()==0 或str2.length()==0

  • 我们可以追究str1和str2[0:n-1] ,n=str2.length的结果从而得到递推公式(2)：

    $$dp(i,j)=\{\begin{array}{llllll}& 0& \text{if}& i=0& \text{o}r& j=0\\ & dp(i-1,j-1)+1& \text{if}& i,j>0& and& x_i=y_j\\ & max(dp(i-1,j),dp(i,j-1))& \text{if}& i,j>0& \text{and}& x_i\ne y_i\end{array}$$

• 题目代码

  • max_length_2str.cpp

最大子段和

• 描述：给定 n 个整数（可以为负数）的序列$(a_1,a_2,...,a_n)$ ,求$ \max\lbrace{ 0 ,\max_\limits{1\le i\le j\le n} \sum_\limits{k=i}^{j} a_k }\rbrace$ 实例：$[-2,11,-4,13,-5,-2]$
• 分析：我们维护一个数组dp[i],显然对于dp[i]有 $dp[i]=max(dp[i-1]+a[i-1],dp[i-1])$ ，再定res = max(dp[i],dp[i-1]) 遍历即可
• 题目代码
  • max_subarray_sum.cpp
  • max_subarray_sum.py

0-1背包问题

• 描述：一个小偷在洗劫商铺时找到了n个物品：其中第i个物品价值$v_i$ 并且重量为$w_i$（价值和重量整数），小偷背包只能承受$W$ ,物品要么带走，要么留下，求如何才能价值最大化

  • 如果带走的一个物品可以拆分，即只带走一部分，如何价值最大化

• 分析：考察前i个物品能获得的最高价值 $V[i,w]$ ,$w$ 为背包的承受力可有如(3)

  $$V[i,w]=\{\begin{array}{llll}& max\{V[i-1,w],V[i-1,w-w_i]+v_i\}& \text{if}& w_i<w\\ & V[i-1,w]& \text{if}& w_i>w\end{array}$$

• 题目代码

  • knapsack.cpp

资源分配问题

• 描述：有资源n,分配给m个项目,$g_i(x)$ 为第i个项目分得资源x所得到的利润。 求总利润最大的资源分配方案,即解下列问题：
  • $ma{x}_z=g_1(x_1)+g_2(x_2)+...+g_m(x_m),x_1+x_2+...+x_m=a,x_i\ge 0,i=1,2,3,...,m$
  • $g_i(x)$ 如下图

• 分析：很容易得到$dp[i]=max(dp[i],dp[j-w[i]+v[i]])$ ，其中 $w[i]$ 和 $v[i]$ 是投入和收益
• 题目代码：
  • resource_alloc.cpp